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# 53. grobner

/grobner.texi/1.3/Sat Jun 2 00:13:21 2007//

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## 53.1 Introdução a grobner

`grobner` é um pacote para trabalhos com bases de Groebner no Maxima.

Um tutorial sobre Bases de Groebner pode ser encontrado em

http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Hall/3131/

Para usar as seguintes funções você deve primeiramente tornar o pacote ``grobner.lisp'` disponível para uso:

    load(grobner);

Uma demonstração de uso pode ser iniciada com

    demo("grobner.demo");

ou com

    batch("grobner.demo")

Alguns dos cálculos no arquivo de demonstração irão tomar um pouco de tempo portanto a saída ``grobner-demo.output'` do arquivo de demonstração pode ser encontrada no mesmo diretório que o arquivo de demonstração.

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### 53.1.1 Notas sobre o pacote grobner

O pacote foi escrito por

Marek Rychlik

http://alamos.math.arizona.edu

e foi liberado em 24/05/2002 nos termos da Licença Pública Geral (GPL/GNU/FSF) (veja o arquivo ``grobner.lisp'`. Essa documentação foi extraída dos arquivos

``README'`, ``grobner.lisp'`, ``grobner.demo'`, ``grobner-demo.output'`

por Günter Nowak. Sugestões de melhorias da documentação podem ser discutidas em maxima-mailing-list maxima@math.utexas.edu. O código está um pouco desatualizado atualmente. Implementações modernas utilizam o algorítmo rápido F4 descrito em

    A new efficient algorithm for computing Gröbner bases (F4)
    Jean-Charles Faugère
    LIP6/CNRS Université Paris VI
    January 20, 1999

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### 53.1.2 Implementações de ordem monomial admissível em grobner

- `lex`

  puramente lexicográfica, ordenação padrão para comparações monomiais

- `grlex`

  ordenação total de grau, quando houver empate é quebrada pela ordem lexicográfica

- `grevlex`

  grau total, quando houver empate é quebrada pela ordem lexicográfica reversa

- `invlex`

  ordenação lexicográfica reversa

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## 53.2 Funções e Variáveis Definidas para grobner

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### 53.2.1 Comutadores globais para grobner

Variável de opção: poly_monomial_order

  Valor padrão: `lex`

  Esse comutador globalcontrola qual a ordenação monomial é usada em polinomio e em cálculos com Bases de Groebner. Se não for escolhidat, `lex` será usada.

Variável de opção: poly_coefficient_ring

  Valor padrão: `expression_ring`

  Esse comutador indica o anel de coeficiente dos polinômios que irá ser usado em cálculos de grobner. Se não for escolhido, o anel de expressão geral do maxima's irá ser usado. Essa variável pode ser escolhida para `ring_of_integers` se for desejado.

Variável de opção: poly_primary_elimination_order

  Valor padrão: `false`

  Nome da ordem padrão de eliminação de variáveis em funções de eliminação. Se não for escolhida, `lex` irá ser usada.

Variável de opção: poly_secondary_elimination_order

  Valor padrão: `false`

  Nome da ordem padrão para manter variáveis em funções de eliminação. Se não for escolhida, `lex` irá ser usada.

Variável de opção: poly_elimination_order

  Valor padrão: `false`

  Nome da ordem padrão de funções de eliminação. Se escolhida, irá sobrescrever as escolhas nas variáveis `poly_primary_elimination_order` e `poly_secondary_elimination_order`. O usuário deve garantir que essa é uma ordem de eliminação verdadeira válida para o número de variáveis eliminadas.

Variável de opção: poly_return_term_list

  Valor padrão: `false`

  Se escolhida para `true`, todas as funções no pacote `grobner` irão retornar cada polinômio como uma lista de termos na ordem monomial corrente em lugar de retornar uma expressão geral do maxima.

Variável de opção: poly_grobner_debug

  Valor padrão: `false`

  Se escolhida para `true`, produz saída de depuração e rastros.

Variável de opção: poly_grobner_algorithm

  Valor padrão: `buchberger`

  Valores possíveis:

  O nome do algorítmo usado para encontrar as bases de Groebner.

Variável de opção: poly_top_reduction_only

  Valor padrão: `false`

  Se não for `false`, usa redução de topo somente se for possível. Redução de topo significa que o algorítmo de divisão para após a primeira redução.

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### 53.2.2 Operadores simples em grobner

`poly_add`, `poly_subtract`, `poly_multiply` e `poly_expt` são as operações aritméticas sobre polinômios. Elas são executadas usando representação interna, mas os resultados são convertidos de volta à forma geral do maxima.

Função: poly_add (poli1, poli2, varlist)

  Adiciona dois polinômios poli1 e poli2.

      (%i1) poly_add(z+x^2*y,x-z,[x,y,z]);
                                          2
      (%o1)                              x  y + x

Função: poly_subtract (poli1, poli2, varlist)

  Subtrai o polinômio poli2 do polinômio poli1.

      (%i1) poly_subtract(z+x^2*y,x-z,[x,y,z]);
                                            2
      (%o1)                          2 z + x  y - x

Função: poly_multiply (poli1, poli2, varlist)

  Retorna o produto dos polinômios poli1 e poli2.

      (%i2) poly_multiply(z+x^2*y,x-z,[x,y,z])-(z+x^2*y)*(x-z),expand;
      (%o1)                                  0

Função: poly_s_polynomial (poli1, poli2, varlist)

  Retorna o polinômio syzygy (S-polinomial) de dois polinômios poli1 e poli2.

Função: poly_primitive_part (poli1, varlist)

  Retorna o polinômio poli dividido pelo MDC entre seus coeficientes.

      (%i1) poly_primitive_part(35*y+21*x,[x,y]);
      (%o1)                              5 y + 3 x

Função: poly_normalize (poli, varlist)

  Retorna o polinômio poli dividido pelo coeficiente lider. `poly_normalize` assume que a divisão é possível, o que nem sempre ocorre em anéis que não são corpos (fields).

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### 53.2.3 Outras funções em grobner

Função: poly_expand (poli, varlist)

  Essa função transforma polinômios para a forma interna e da forma interna para a forma geral. `poly_expand` é equivalente a `expand(poly)` se poli passa corretamente para um polinômio. Se a representação não for compatível com um polinômio nas variáveis varlist, o resultado é um erro. Esse resultado em erro pode ser usado para testar se uma expressão transforma-se corretamente para a representação interna. Os seguintes exemplos ilustra que variáveis de funções indexadas e transcendentes são permitidas.

      (%i1) poly_expand((x-y)*(y+x),[x,y]);
                                           2    2
      (%o1)                               x  - y
      (%i2) poly_expand((y+x)^2,[x,y]);
                                      2            2
      (%o2)                          y  + 2 x y + x
      (%i3) poly_expand((y+x)^5,[x,y]);
                        5      4         2  3       3  2      4      5
      (%o3)            y  + 5 x y  + 10 x  y  + 10 x  y  + 5 x  y + x
      (%i4) poly_expand(-1-x*exp(y)+x^2/sqrt(y),[x]);
                                                2
                                        y      x
      (%o4)                       - x %e  + ------- - 1
                                             sqrt(y)

      (%i5) poly_expand(-1-sin(x)^2+sin(x),[sin(x)]);
                                      2
      (%o5)                      - sin (x) + sin(x) - 1

Função: poly_expt (poli, número, varlist)

  eleva poli a um inteiro positivo número. If número não for um inteiro positivo um erro irá ser mostrado.

      (%i1) poly_expt(x-y,3,[x,y])-(x-y)^3,expand;
      (%o1)                                  0

Função: poly_content (poli. varlist)

  `poly_content` extrai o MDC entre seus coeficientes

      (%i1) poly_content(35*y+21*x,[x,y]);
      (%o1)                                  7

Função: poly_pseudo_divide (poli, polilist, varlist)

  Realiza a divisão falsa do polinômio poli pela lista de n polinômios polilist. Retorna multiplos valores. O primeiro valor é uma lista de quocientes a. O segundo valor é o resto r. O terceiro argumento é um coeficiente escalar c, tal que c*poli pode ser dividido porpolilist dentro do anel dos coeficientes, que não é necessáriamente corpo. Finalmente, o quarto valor é um contador inteiro do número de reduções realizadas. O objetos resultantes satisfazem à equação:

  c*poly=sum(a[i]*polylist[i],i=1...n)+r.

Função: poly_exact_divide (poli1, poli2, varlist)

  Divide um polinômio poli1 por outro polinômio poli2. Assume que a divisão exata (sem resto) é possível. Retorna o quociente.

Função: poly_normal_form (poli, polilist, varlist)

  `poly_normal_form` encontra a forma normal de um polinômio poli com relação a um conjunto de polinômios polilist.

Função: poly_buchberger_criterion (polilist, varlist)

  Returns `true` if polilist is a Groebner basis with respect to the current term order, by using the Buchberger criterion: for every two polynomials h1 and h2 in polilist the S-polynomial S(h1,h2) reduces to 0 modulo polilist.

Função: poly_buchberger (polilist_fl varlist)

  `poly_buchberger` realiza o algorítmo de Buchberger sobre uma lista de polinômios e retorna a base de Grobner resultante.

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### 53.2.4 Pósprocessamento padão de bases de Groebner

O k-ésimo ideal de eliminação I_k de uma Ideal I sobre K[ x[1],...,x[n] ] é o ideal intersecção(I, K[ x[k+1],...,x[n] ]).
O ideal quociente I:J é o ideal {h|for all w em J: w*h em I}.
O ideal I:p^inf é o ideal {h| existe um n em N: p^n*h em I}.
O ideal I:J^inf é o ideal {h| existe um n em N \and a p em J: p^n*h em I}.
O ideal radical sqrt(I) é o ideal {h| existe um n em N : h^n em I }.

Função: poly_reduction (polilist, varlist)

  `poly_reduction` reduz uma lista de polinômios polilist, de forma que cada poinômio é completametne reduzido com relação a outros polinômios.

Função: poly_minimization (polilist, varlist)

  Retorna uma sublista da lista de polinômios polilist gerando o mesmo ideal de monômio que polilist mas minimo, i.e. nenhum monômio líder de um polinômio na sublista divide o monômio líder de outro polinômio.

Função: poly_normalize_list (polilist, varlist)

  `poly_normalize_list` aplica `poly_normalize` a cada polinômio na lista. Que significa que `poly_normalize_list` divide todo polinômio em uma lista polilist por seu coeficiente líder.

Função: poly_grobner (polilist, varlist)

  Retorna uma base de Groebner do ideal gerado pelos polinômios polilist. Afetado pelos sinalizadores globais.

Função: poly_reduced_grobner (polilist, varlist)

  Retorna uma base de Groebner reduzida do ideal gerado pelos polinômios polilist. Afetado pelos sinalizadores globais.

Função: poly_depends_p (poli, var, varlist)

  `poly_depends` testa se um polinômio depende da variável var.

Função: poly_elimination_ideal (polilist, num, varlist)

  `poly_elimination_ideal` retorna a base de grobner do num-ésimo ideal de eliminação de um ideal especificado como uma lista de polinômios geradores (não necessáriamente base de Groebner)

Função: poly_colon_ideal (polilist1, polilist2, varlist)

  Retorna a base reduzida de Groebner do ideal quociente

  I(polilist1):I(polilist2)

  onde polilist1 e polilist2 são duas listas de polinômios.

Função: poly_ideal_intersection (polilist1, polilist2, varlist)

  `poly_ideal_intersection` retorna a intersecção entre dois ideais.

Função: poly_lcm (poli1, poli2, varlist)

  Retorna o mínimo múltiplo comum entre poli1 e poli2.

Função: poly_gcd (poli1, poli2, varlist)

  Retorna máximo divisor comum de poli1 e poli2.

Função: poly_grobner_equal (polilist1, polilist2, varlist)

  `poly_grobner_equal` testa se duas bases de Groebner geram o mesmo ideal. Retorna `true` se as duas listas de polinômios polilist1 e polilist2, assumidas serem bases de Groebner, geram o mesmo ideal, e `false` de outra forma. Isso é equivalente a verificar que todo polinômio da primeira base é reduzido a 0 módulo a segunda base e vice-versa. Note que no exemplo abaixo a primeira lista não é uma base de Groebner, e dessa forma o resultado é `false`.

      (%i1) poly_grobner_equal([y+x,x-y],[x,y],[x,y]);
      (%o1)                         false

Função: poly_grobner_subsetp (polilist1, polilist2, varlist)

  `poly_grobner_subsetp` testa se um ideal gerado pela polilist1 está contido em um ideal gerado pela polilist2. Para esse teste sempre tenha sucesso, polilist2 deve ser uma base de Groebner.

Função: poly_grobner_member (poli, polilist, varlist)

  Retorna `true` se um polinômio poli pertence ao ideal gerado pela lista polinomial polilist, que é assumida como sendouma base de Groebner. Retorna `false` de outra forma.

  `poly_grobner_member` testa se um polinômio pertence a um ideal gerado por uma lista de polinômios, que é assumida ser uma base de Groebner. Equivale a `normal_form` sendo 0.

Função: poly_ideal_saturation1 (polilist, poli, varlist)

  Retorna abase de Groebner reduzida da saturação do ideal

  I(polylist):poly^inf

  Geometricamente, sobre um corpo algebricamente fechado, esse é um conjunto de polinmios no ideal gerado por polilist que não tende identicamente a zero sobre a variação de poli.

Função: poly_ideal_saturation (polilist1, polilist2, varlist)

  Retorna a base de Groebner reduzida da saturação do ideal

  I(polylist1):I(polylist2)^inf

  Geometricamente, sobre um corpo algebricamente fechado, esse é um conjunto de polinmios no ideal gerado por polilist1 que não tende identicamente a zero sobre a variação de polilist2.

Função: poly_ideal_polysaturation1 (polilist1, polilist2, varlist)

  polilist2 ist a list of n polynomials `[poly1,...,polyn]`. Retorna a base de Groebner reduzida do ideal

  I(polylist):poly1^inf:...:polyn^inf

  obtido por uma seqüência de sucessivas saturações nos polinômios da lista polinômial polilist2 do ideal gerado pela lista polinomial polilist1.

Função: poly_ideal_polysaturation (polilist, polilistlist, varlist)

  polilistlist is a list of n list of polynomials `[polylist1,...,polylistn]`. Retorna a base reduzida de Groebner da saturação do ideal

  I(polylist):I(polylist_1)^inf:...:I(polylist_n)^inf

Função: poly_saturation_extension (poli, polilist, varlist1, varlist2)

  `poly_saturation_extension` implementa o famoso artifício de Rabinowitz.

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