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# 28. ctensor

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## 28.1 Introdução a ctensor

`ctensor` é um pacote de manipulação de componentes. Para usar o pacote `ctensor`, digite `load(ctensor)`. Para começar uma sessão iterativa com `ctensor`, digite `csetup()`. Você é primeiramente solicitado a especificar a dimensão a ser manipulada. Se a dimensão for 2, 3 ou 4 então a lista de coordenadas padrão é `[x,y]`, `[x,y,z]` ou `[x,y,z,t]` respectivamente. Esses nomes podem ser mudados através da atribuição de uma nova lista de coordenadas para a variável `ct_coords` (descrita abaixo) e o usuário é perguntado sobre isso.Cuidado deve ser tomado para evitar o conflito de nomes de coordenadas com outras definições de objetos.

No próximo passo, o usuário informa a métrica ou diretamente ou de um arquivo especificando sua posição ordinal. Como um exemplo de um arquivo de métrica comum, veja `share/tensor/metrics.mac`. A métrica está armazenada na matriz LG. Finalmente, o inverso da métrica é calculado e armazenado na matriz UG. Se tem a opção de realizar todos os cálculos em séries de potência.

Um protocolo amostra é iniciado abaixo para a métrica estática, esfericamente simétrica (coordenadas padrão) que será aplicadas ao problema de derivação das equações de vácuo de Einstein (que levam à solução de Schwarzschild) como um exemplo. Muitas das funções em `ctensor` irão ser mostradas para a métrica padrão como exemplos.

    (%i1) load(ctensor);
    (%o1)      /usr/local/lib/maxima/share/tensor/ctensor.mac
    (%i2) csetup();
    Enter the dimension of the coordinate system:
    4;
    Do you wish to change the coordinate names?
    n;
    Do you want to
    1. Enter a new metric?

    2. Enter a metric from a file?

    3. Approximate a metric with a Taylor series?
    1;

    Is the matrix  1. Diagonal  2. Symmetric  3. Antisymmetric  4. General
    Answer 1, 2, 3 or 4
    1;
    Row 1 Column 1:
    a;
    Row 2 Column 2:
    x^2;
    Row 3 Column 3:
    x^2*sin(y)^2;
    Row 4 Column 4:
    -d;

    Matrix entered.
    Enter functional dependencies with the DEPENDS function or 'N' if none
    depends([a,d],x);
    Do you wish to see the metric?
    y;
                              [ a  0       0        0  ]
                              [                        ]
                              [     2                  ]
                              [ 0  x       0        0  ]
                              [                        ]
                              [         2    2         ]
                              [ 0  0   x  sin (y)   0  ]
                              [                        ]
                              [ 0  0       0       - d ]
    (%o2)                                done
    (%i3) christof(mcs);
                                                a
                                                 x
    (%t3)                          mcs        = ---
                                      1, 1, 1   2 a

                                                 1
    (%t4)                           mcs        = -
                                       1, 2, 2   x

                                                 1
    (%t5)                           mcs        = -
                                       1, 3, 3   x

                                                d
                                                 x
    (%t6)                          mcs        = ---
                                      1, 4, 4   2 d

                                                  x
    (%t7)                          mcs        = - -
                                      2, 2, 1     a

                                               cos(y)
    (%t8)                         mcs        = ------
                                     2, 3, 3   sin(y)

                                                   2
                                              x sin (y)
    (%t9)                      mcs        = - ---------
                                  3, 3, 1         a

    (%t10)                   mcs        = - cos(y) sin(y)
                                3, 3, 2

                                                d
                                                 x
    (%t11)                         mcs        = ---
                                      4, 4, 1   2 a
    (%o11)                               done

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## 28.2 Funções e Variáveis Definidas para ctensor

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### 28.2.1 Inicialização e configuração

Função: csetup ()

  É uma função no pacote `ctensor` (component tensor) que inicializa o pacote e permite ao usuário inserir uma métrica interativamente. Veja `ctensor` para mais detalhes.

Função: cmetric (dis)
Função: cmetric ()

  É uma função no pacote `ctensor` que calcula o inverso da métrica e prepara o pacote para cálculos adiante.

  Se `cframe_flag` for `false`, a função calcula a métrica inversa `ug` a partir da matriz `lg` (definida pelo usuário). O determinante da métrica é também calculado e armazenado na variável `gdet`. Mais adiante, o pacote determina se a métrica é diagonal e escolhe o valor de `diagmetric` conforme a determinação. Se o argumento opcional dis estiver presente e não for `false`, a saída é mostrada ao usuário pela linha de comando para que ele possa ver o inverso da métrica.

  Se `cframe_flag` for `true`, a função espera que o valor de `fri` (a matriz moldura inversa) e `lfg` (a métrica da moldura) sejam definidas. A partir dessas, a matriz da moldura `fr` e a métrica da moldura inversa `ufg` são calculadas.

Função: ct_coordsys (sistema_de_coordenadas, extra_arg)
Função: ct_coordsys (sistema_de_coordenadas)

  Escolhe um sistema de coordenadas predefinido e uma métrica. O argumento sistema_de_coordenadas pode ser um dos seguintes símbolos:

        SYMBOL               Dim Coordenadas       Descrição/comentários
        --------------------------------------------------------------------------
        cartesian2d           2  [x,y]             Sist. de coord. cartesianas 2D
        polar                 2  [r,phi]           Sist. de coord. Polare
        elliptic              2  [u,v]
        confocalelliptic      2  [u,v]
        bipolar               2  [u,v]
        parabolic             2  [u,v]
        cartesian3d           3  [x,y,z]           Sist. de coord. cartesianas 3D
        polarcylindrical      3  [r,theta,z]
        ellipticcylindrical   3  [u,v,z]           Elíptica 2D com Z cilíndrico
        confocalellipsoidal   3  [u,v,w]
        bipolarcylindrical    3  [u,v,z]           Bipolar 2D com Z cilíndrico
        paraboliccylindrical  3  [u,v,z]           Parabólico 2D com Z cilíndrico
        paraboloidal          3  [u,v,phi]
        conical               3  [u,v,w]
        toroidal              3  [u,v,phi]
        spherical             3  [r,theta,phi]     Sist. de coord. Esféricas
        oblatespheroidal      3  [u,v,phi]
        oblatespheroidalsqrt  3  [u,v,phi]
        prolatespheroidal     3  [u,v,phi]
        prolatespheroidalsqrt 3  [u,v,phi]
        ellipsoidal           3  [r,theta,phi]
        cartesian4d           4  [x,y,z,t]         Sist. de coord. 4D
        spherical4d           4  [r,theta,eta,phi]
        exteriorschwarzschild 4  [t,r,theta,phi]   Métrica de Schwarzschild
        interiorschwarzschild 4  [t,z,u,v]        Métrica de Schwarzschild Interior
        kerr_newman           4  [t,r,theta,phi]   Métrica simétrica axialmente alterada

  `sistema_de_coordenadas` pode também ser uma lista de funções de transformação, seguida por uma lista contendo as varáveis coordenadas. Por exemplo, você pode especificar uma métrica esférica como segue:

      (%i1) load(ctensor);
      (%o1)       /share/tensor/ctensor.mac
      (%i2) ct_coordsys([r*cos(theta)*cos(phi),r*cos(theta)*sin(phi),
            r*sin(theta),[r,theta,phi]]);
      (%o2)                                done
      (%i3) lg:trigsimp(lg);
                                 [ 1  0         0        ]
                                 [                       ]
                                 [     2                 ]
      (%o3)                      [ 0  r         0        ]
                                 [                       ]
                                 [         2    2        ]
                                 [ 0  0   r  cos (theta) ]
      (%i4) ct_coords;
      (%o4)                           [r, theta, phi]
      (%i5) dim;
      (%o5)                                  3

  Funções de transformação podem também serem usadas quando `cframe_flag` for `true`:

      (%i1) load(ctensor);
      (%o1)       /share/tensor/ctensor.mac
      (%i2) cframe_flag:true;
      (%o2)                                true
      (%i3) ct_coordsys([r*cos(theta)*cos(phi),r*cos(theta)*sin(phi),
            r*sin(theta),[r,theta,phi]]);
      (%o3)                                done
      (%i4) fri;
            [ cos(phi) cos(theta)  - cos(phi) r sin(theta)  - sin(phi) r cos(theta) ]
            [                                                                       ]
      (%o4) [ sin(phi) cos(theta)  - sin(phi) r sin(theta)   cos(phi) r cos(theta)  ]
            [                                                                       ]
            [     sin(theta)            r cos(theta)                   0            ]
      (%i5) cmetric();
      (%o5)                                false
      (%i6) lg:trigsimp(lg);
                                 [ 1  0         0        ]
                                 [                       ]
                                 [     2                 ]
      (%o6)                      [ 0  r         0        ]
                                 [                       ]
                                 [         2    2        ]
                                 [ 0  0   r  cos (theta) ]

  O argumento opcional extra_arg pode ser qualquer um dos seguintes:

  `cylindrical` diz a `ct_coordsys` para anexar uma coordenada adicional cilíndrica.

  `minkowski` diz a `ct_coordsys` para anexar uma coordenada com assinatura métrica negativa.

  `all` diz a `ct_coordsys` para chamar `cmetric` e `christof(false)` após escolher a métrica.

  Se a variável global `verbose` for escolhida para `true`, `ct_coordsys` mostra os valores de `dim`, `ct_coords`, e ou `lg` ou `lfg` e `fri`, dependendo do valor de `cframe_flag`.

Função: init_ctensor ()

  Inicializa o pacote `ctensor`.

  A função `init_ctensor` reinicializa o pacote `ctensor`. Essa função remove todos os arrays e matrizes usados por `ctensor`, coloca todos os sinalizadores de volta a seus valores padrão, retorna `dim` para 4, e retorna a métrica da moldura para a métrica da moldura de Lorentz.

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### 28.2.2 Os tensores do espaço curvo

O principal propósito do pacote `ctensor` é calcular os tensores do espaç(tempo) curvo, mais notavelmente os tensores usados na relatividade geral.

Quando uma base métrica é usada, `ctensor` pode calcular os seguintes tensores:

     lg  -- ug
       \      \
        lcs -- mcs -- ric -- uric
                  \      \       \
                   \      tracer - ein -- lein
                    \
                     riem -- lriem -- weyl
                         \
                          uriem

`ctensor` pode também usar molduras móveis. Quando `cframe_flag` for escolhida para `true`, os seguintes tensores podem ser calculados:

     lfg -- ufg
         \
     fri -- fr -- lcs -- mcs -- lriem -- ric -- uric
          \                       |  \      \       \
           lg -- ug               |   weyl   tracer - ein -- lein
                                  |\
                                  | riem
                                  |
                                  \uriem

Função: christof (dis)

  Uma função no pacote `ctensor`. Essa função calcula os símbolos de Christoffel de ambos os tipos. O argumento dis determina quais resultados são para serem imediatamente mostrados. Os símbolos de Christoffel de primeiro e de segundo tipo são armazenados nos arrays `lcs[i,j,k]` e `mcs[i,j,k]` respectivamente e definidos para serem simétricos nos primeiros dois índices. Se o argumento para `christof` for `lcs` ou for `mcs` então o único valor não nulo de `lcs[i,j,k]` ou de `mcs[i,j,k]`, respectivamente, será mostrado. Se o argumento for `all` então o único valor não nulo de `lcs[i,j,k]` e o único valor não nulo de `mcs[i,j,k]` serão mostrados. Se o argumento for `false` então a exibição dos elementos não acontecerá. Os elementos do array `mcs[i,j,k]` são definidos de uma tal maneira que o índice final é contravariante.

Função: ricci (dis)

  Uma função no pacote `ctensor`. `ricci` calcula as componentes contravariantes (simétricas) `ric[i,j]` do tensor de Ricci. Se o argumento dis for `true`, então as componentes não nulas são mostradas.

Função: uricci (dis)

  Essa função primeiro calcula as componentes contravariantes `ric[i,j]` do tensor de Ricci. Então o tensor misto de Ricci é calculado usando o tensor métrico contravariante. Se o valor do argumento dis for `true`, então essas componentes mistas, `uric[i,j]` (o índice "i" é covariante e o índice "j" é contravariante), serão mostradas diretamente. De outra forma, `ricci(false)` irá simplesmente calcular as entradas do array `uric[i,j]` sem mostrar os resultados.

Função: scurvature ()

  Retorna a curvatura escalar (obtida através da contração do tensor de Ricci) do Riemaniano multiplicado com a métrica dada.

Função: einstein (dis)

  Uma função no pacote `ctensor`. `einstein` calcula o tensor misto de Einstein após os símbolos de Christoffel e o tensor de Ricci terem sido obtidos (com as funções `christof` e `ricci`). Se o argumento dis for `true`, então os valores não nulos do tensor misto de Einstein `ein[i,j]` serão mostrados quando `j` for o índice contravariante. A variável `rateinstein` fará com que a simplificação racional ocorra sobre esses componentes. Se `ratfac` for `true` então as componentes irão também ser fatoradas.

Função: leinstein (dis)

  Tensor covariante de Einstein. `leinstein` armazena o valor do tensor covariante de Einstein no array `lein`. O tensor covariante de Einstein é calculado a partir tensor misto de Einstein `ein` através da multiplicação desse pelo tensor métrico. Se o argumento dis for `true`, então os valores não nulos do tensor covariante de Einstein são mostrados.

Função: riemann (dis)

  Uma função no pacote `ctensor`. `riemann` calcula o tensor de curvatura de Riemann a partir da métrica dada e correspondendo aos símbolos de Christoffel. As seguintes convenções de índice são usadas:

                      l      _l       _l       _l   _m    _l   _m
       R[i,j,k,l] =  R    = |      - |      + |    |   - |    |
                      ijk     ij,k     ik,j     mk   ij    mj   ik

  Essa notação é consistente com a notação usada por no pacote `itensor` e sua função `icurvature`. Se o argumento opcional dis for `true`, as componentes não nulas `riem[i,j,k,l]` serão mostradas. Como com o tensor de Einstein, vários comutadores escolhidos pelo usuário controlam a simplificação de componentes do tensor de Riemann. Se `ratriemann` for `true`, então simplificação racional será feita. Se `ratfac` for `true` então cada uma das componentes irá também ser fatorada.

  Se a variável `cframe_flag` for `false`, o tensor de Riemann é calculado diretamente dos símbolos de Christoffel. Se `cframe_flag` for `true`, o tensor covariante de Riemann é calculado primeiro dos coeficientes de campo da moldura.

Função: lriemann (dis)

  Tensor covariante de Riemann (`lriem[]`).

  Calcula o tensor covariante de Riemann como o array `lriem`. Se o argumento dis for `true`, únicos valores não nulos são mostrados.

  Se a variável `cframe_flag` for `true`, o tensor covariante de Riemann é calculado diretamente dos coeficientes de campo da moldura. De outra forma, o tensor (3,1) de Riemann é calculado primeiro.

  Para informação sobre a ordenação de índice, veja `riemann`.

Função: uriemann (dis)

  Calcula as componentes contravariantes do tensor de curvatura de Riemann como elementos do array `uriem[i,j,k,l]`. Esses são mostrados se dis for `true`.

Função: rinvariant ()

  Compõe o invariante de Kretchmann (`kinvariant`) obtido através da contração dos tensores

      lriem[i,j,k,l]*uriem[i,j,k,l].

  Esse objeto não é automaticamente simplificado devido ao fato de poder ser muito largo.

Função: weyl (dis)

  Calcula o tensor conformal de Weyl. Se o argumento dis for `true`, as componentes não nulas `weyl[i,j,k,l]` irão ser mostradas para o usuário. De outra forma, essas componentes irão simplesmente serem calculadas e armazenadas. Se o comutador `ratweyl` é escolhido para `true`, então as componentes irão ser racionalmente simplificadas; se `ratfac` for `true` então os resultados irão ser fatorados também.

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### 28.2.3 Expansão das séries de Taylor

O pacote `ctensor` possui a habilidade para truncar resultados assumindo que eles são aproximações das séries de Taylor. Esse comportamenteo é controlado através da variável `ctayswitch`; quando escolhida para `true`, `ctensor` faz uso internamente da função `ctaylor` quando simplifica resultados.

A função `ctaylor` é invocada pelas seguintes funções de `ctensor`:

        Function     Comments
        ---------------------------------
        christof()   só para mcs
        ricci()
        uricci()
        einstein()
        riemann()
        weyl()
        checkdiv()

Função: ctaylor ()

  A função `ctaylor` trunca seus argumentos através da conversão destes para uma série de Taylor usando `taylor`, e então chamando `ratdisrep`. Isso tem efeito combinado de abandonar termos de ordem mais alta na variável de expansão `ctayvar`. A ordem dos termos que podem ser abandonados é definida através de `ctaypov`; o ponto em torno do qual a expansão da série é realizada está especificado em `ctaypt`.

  Como um exemplo, considere uma métrica simples que é uma perturbação da métrica de Minkowski. Sem restrições adicionais, mesmo uma métrica diagonal produz expressões para o tensor de Einstein que são de longe muito complexas:

      (%i1) load(ctensor);
      (%o1)       /share/tensor/ctensor.mac
      (%i2) ratfac:true;
      (%o2)                                true
      (%i3) derivabbrev:true;
      (%o3)                                true
      (%i4) ct_coords:[t,r,theta,phi];
      (%o4)                         [t, r, theta, phi]
      (%i5) lg:matrix([-1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,r^2,0],[0,0,0,r^2*sin(theta)^2]);
                              [ - 1  0  0         0        ]
                              [                            ]
                              [  0   1  0         0        ]
                              [                            ]
      (%o5)                   [          2                 ]
                              [  0   0  r         0        ]
                              [                            ]
                              [              2    2        ]
                              [  0   0  0   r  sin (theta) ]
      (%i6) h:matrix([h11,0,0,0],[0,h22,0,0],[0,0,h33,0],[0,0,0,h44]);
                                  [ h11   0    0    0  ]
                                  [                    ]
                                  [  0   h22   0    0  ]
      (%o6)                       [                    ]
                                  [  0    0   h33   0  ]
                                  [                    ]
                                  [  0    0    0   h44 ]
      (%i7) depends(l,r);
      (%o7)                               [l(r)]
      (%i8) lg:lg+l*h;
               [ h11 l - 1      0          0                 0            ]
               [                                                          ]
               [     0      h22 l + 1      0                 0            ]
               [                                                          ]
      (%o8)    [                        2                                 ]
               [     0          0      r  + h33 l            0            ]
               [                                                          ]
               [                                    2    2                ]
               [     0          0          0       r  sin (theta) + h44 l ]
      (%i9) cmetric(false);
      (%o9)                                done
      (%i10) einstein(false);
      (%o10)                               done
      (%i11) ntermst(ein);
      [[1, 1], 62]
      [[1, 2], 0]
      [[1, 3], 0]
      [[1, 4], 0]
      [[2, 1], 0]
      [[2, 2], 24]
      [[2, 3], 0]
      [[2, 4], 0]
      [[3, 1], 0]
      [[3, 2], 0]
      [[3, 3], 46]
      [[3, 4], 0]
      [[4, 1], 0]
      [[4, 2], 0]
      [[4, 3], 0]
      [[4, 4], 46]
      (%o12)                               done

  Todavia, se nós recalcularmos esse exemplo como uma aproximação que é linear na variável `l`, pegamos expressões muito simples:

      (%i14) ctayswitch:true;
      (%o14)                               true
      (%i15) ctayvar:l;
      (%o15)                                 l
      (%i16) ctaypov:1;
      (%o16)                                 1
      (%i17) ctaypt:0;
      (%o17)                                 0
      (%i18) christof(false);
      (%o18)                               done
      (%i19) ricci(false);
      (%o19)                               done
      (%i20) einstein(false);
      (%o20)                               done
      (%i21) ntermst(ein);
      [[1, 1], 6]
      [[1, 2], 0]
      [[1, 3], 0]
      [[1, 4], 0]
      [[2, 1], 0]
      [[2, 2], 13]
      [[2, 3], 2]
      [[2, 4], 0]
      [[3, 1], 0]
      [[3, 2], 2]
      [[3, 3], 9]
      [[3, 4], 0]
      [[4, 1], 0]
      [[4, 2], 0]
      [[4, 3], 0]
      [[4, 4], 9]
      (%o21)                               done
      (%i22) ratsimp(ein[1,1]);
                               2      2  4               2     2
      (%o22) - (((h11 h22 - h11 ) (l )  r  - 2 h33 l    r ) sin (theta)
                                    r               r r

                                      2               2      4    2
                        - 2 h44 l    r  - h33 h44 (l ) )/(4 r  sin (theta))
                                 r r                r

  Essa compatibilidade pode ser útil, por exemplo, quando trabalhamos no limite do campo fraco longe de uma fonte gravitacional.

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### 28.2.4 Campos de moldura

Quando a variável `cframe_flag` for escolhida para `true`, o pacote `ctensor` executa seus cálculos usando uma moldura móvel.

Função: frame_bracket (fr, fri, diagframe)

  O delimitador da moldura (`fb[]`).

  Calcula o delimitador da moldura conforme a seguinte definição:

         c          c         c        d     e
      ifb   = ( ifri    - ifri    ) ifr   ifr
         ab         d,e       e,d      a     b

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### 28.2.5 Classificação Algébrica

Um novo recurso (a partir de November de 2004) de `ctensor` é sua habilidade para calcular a classificação de Petrov de uma métrica espaço tempo tetradimensional. Para uma demonstração dessa compatibilidade, veja o arquivo `share/tensor/petrov.dem`.

Função: nptetrad ()

  Calcula um tetrad nulo de Newman-Penrose (`np`) e seus índices ascendentes em contrapartida (`npi`). Veja `petrov` para um exemplo.

  O tetrad nulo é construído assumindo que uma moldura métrica ortonormal tetradimensional com assinatura métrica (-,+,+,+) está sendo usada. As componentes do tetrad nulo são relacionadas para a matriz moldura inversa como segue:

      np  = (fri  + fri ) / sqrt(2)
        1       1      2

      np  = (fri  - fri ) / sqrt(2)
        2       1      2

      np  = (fri  + %i fri ) / sqrt(2)
        3       3         4

      np  = (fri  - %i fri ) / sqrt(2)
        4       3         4

Função: psi (dis)

  Calcula os cinco coeficientes de Newman-Penrose `psi[0]`...`psi[4]`. Se `psi` for escolhida para `true`, os coeficientes são mostrados. Veja `petrov` para um exemplo.

  Esses coeficientes são calculados a partir do tensor de Weyl em uma base de coordenada. Se uma base de moldura for usada,o tensor de Weyl é primeiro convertido para a base de coordenada, que pode ser um procedimento computacional expansível. Por essa razão, em alguns casos pode ser mais vantajoso usar uma base de coordenada em primeiro lugar antes que o tensor de Weyl seja calculado. Note todavia, que para a construção de um tetrad nulo de Newman-Penrose é necessário uma base de moldura. Portanto, uma seqüência de cálculo expressiva pode começar com uma base de moldura, que é então usada para calcular `lg` (calculada automaticamente através de `cmetric`) e em seguida calcula `ug`. Nesse ponto, você pode comutar de volta para uma base de coordenada escolhendo `cframe_flag` para `false` antes de começar a calcular os símbolos de Christoffel. Mudando para uma base de moldura em um estágio posterior pode retornar resultados inconsistentes, já que você pode terminar com um grande mistura de tensores, alguns calculados em uma base de moldura, alguns em uma base de coordenada, sem nenhum modo para distingüir entre os dois tipos.

Função: petrov ()

  Calcula a classificação de petrov da métrica caracterizada através de `psi[0]`...`psi[4]`.

  Por exemplo, o seguinte demonstra como obter a classificação de Petrov da métrica de Kerr:

      (%i1) load(ctensor);
      (%o1)       /share/tensor/ctensor.mac
      (%i2) (cframe_flag:true,gcd:spmod,ctrgsimp:true,ratfac:true);
      (%o2)                                true
      (%i3) ct_coordsys(exteriorschwarzschild,all);
      (%o3)                                done
      (%i4) ug:invert(lg)$
      (%i5) weyl(false);
      (%o5)                                done
      (%i6) nptetrad(true);
      (%t6) np =

             [  sqrt(r - 2 m)           sqrt(r)                                     ]
             [ ---------------   ---------------------      0             0         ]
             [ sqrt(2) sqrt(r)   sqrt(2) sqrt(r - 2 m)                              ]
             [                                                                      ]
             [  sqrt(r - 2 m)            sqrt(r)                                    ]
             [ ---------------  - ---------------------     0             0         ]
             [ sqrt(2) sqrt(r)    sqrt(2) sqrt(r - 2 m)                             ]
             [                                                                      ]
             [                                              r      %i r sin(theta)  ]
             [        0                    0             -------   ---------------  ]
             [                                           sqrt(2)       sqrt(2)      ]
             [                                                                      ]
             [                                              r       %i r sin(theta) ]
             [        0                    0             -------  - --------------- ]
             [                                           sqrt(2)        sqrt(2)     ]

                                   sqrt(r)          sqrt(r - 2 m)
      (%t7) npi = matrix([- ---------------------, ---------------, 0, 0],
                            sqrt(2) sqrt(r - 2 m)  sqrt(2) sqrt(r)

                sqrt(r)            sqrt(r - 2 m)
      [- ---------------------, - ---------------, 0, 0],
         sqrt(2) sqrt(r - 2 m)    sqrt(2) sqrt(r)

                 1               %i
      [0, 0, ---------, --------------------],
             sqrt(2) r  sqrt(2) r sin(theta)

                 1                 %i
      [0, 0, ---------, - --------------------])
             sqrt(2) r    sqrt(2) r sin(theta)

      (%o7)                                done
      (%i7) psi(true);
      (%t8)                              psi  = 0
                                            0

      (%t9)                              psi  = 0
                                            1

                                                m
      (%t10)                             psi  = --
                                            2    3
                                                r

      (%t11)                             psi  = 0
                                            3

      (%t12)                             psi  = 0
                                            4
      (%o12)                               done
      (%i12) petrov();
      (%o12)                                 D

  A função de classificação Petrov é baseada no algorítmo publicado em "Classifying geometries in general relativity: III Classification in practice" por Pollney, Skea, e d'Inverno, Class. Quant. Grav. 17 2885-2902 (2000). Exceto para alguns casos de teste simples, a implementação não está testada até 19 de Dezembro de 2004, e é provável que contenha erros.

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### 28.2.6 Torsão e não metricidade

`ctensor` possui a habilidade de calcular e incluir coeficientes de torsão e não metricidade nos coeficientes de conecção.

Os coeficientes de torsão são calculados a partir de um tensor fornecido pelo usuário `tr`, que pode ser um tensor de categoria (2,1). A partir disso, os coeficientes de torsão `kt` são calculados de acordo com a seguinte fórmula:

                  m          m      m
           - g  tr   - g   tr   - tr   g
              im  kj    jm   ki     ij  km
    kt   = -------------------------------
      ijk                 2

      k     km
    kt   = g   kt
      ij         ijm

Note que somente o tensor de índice misto é calculao e armazenado no array `kt`.

Os coeficientes de não metricidade são calculados a partir do vetor de não metricidade fornecido pelo usuário `nm`. A partir disso, os coeficientes de não metricidade `nmc` são calculados como segue:

                 k    k        km
           -nm  D  - D  nm  + g   nm  g
       k      i  j    i   j         m  ij
    nmc  = ------------------------------
       ij                2

onde D simboliza o delta de Kronecker.

Quando `ctorsion_flag` for escolhida para `true`, os valores de `kt` são subtraídos dos coeficientes de conecção indexados mistos calculados através de `christof` e armazenados em `mcs`. Similarmente, se `cnonmet_flag` for escolhida para `true`, os valores de `nmc` são subtraídos dos coeficientes de conecção indexados mistos.

Se necessário, `christof` chama as funções `contortion` e `nonmetricity` com o objetivo de calcular `kt` e `nm`.

Função: contortion (tr)

  Calcula os coeficientes de contorsão de categoria (2,1) a partir do tensor de torsão tr.

Função: nonmetricity (nm)

  Calcula o coeficiente de não metricidade de categoria (2,1) a partir do vetor de não metricidade nm.

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### 28.2.7 Recursos diversos

Função: ctransform (M)

  Uma função no pacote `ctensor` que irá executar uma transformação de coordenadas sobre uma matriz simétrica quadrada arbitrária M. O usuário deve informar as funçãoes que definem a transformação. (Formalmente chamada `transform`.)

Função: findde (A, n)

  Retorna uma lista de equações diferenciais únicas (expressões) correspondendo aos elementos do array quadrado n dimensional A. Atualmente, n pode ser 2 ou 3. `deindex` é uma lista global contendo os índices de A correspondendo a essas únicas equações diferenciais. Para o tensor de Einstein (`ein`), que é um array dimensional, se calculado para a métrica no exemplo abaixo, `findde` fornece as seguintes equações diferenciais independentes:

      (%i1) load(ctensor);
      (%o1)       /share/tensor/ctensor.mac
      (%i2) derivabbrev:true;
      (%o2)                                true
      (%i3) dim:4;
      (%o3)                                  4
      (%i4) lg:matrix([a,0,0,0],[0,x^2,0,0],[0,0,x^2*sin(y)^2,0],[0,0,0,-d]);
                                [ a  0       0        0  ]
                                [                        ]
                                [     2                  ]
                                [ 0  x       0        0  ]
      (%o4)                     [                        ]
                                [         2    2         ]
                                [ 0  0   x  sin (y)   0  ]
                                [                        ]
                                [ 0  0       0       - d ]
      (%i5) depends([a,d],x);
      (%o5)                            [a(x), d(x)]
      (%i6) ct_coords:[x,y,z,t];
      (%o6)                            [x, y, z, t]
      (%i7) cmetric();
      (%o7)                                done
      (%i8) einstein(false);
      (%o8)                                done
      (%i9) findde(ein,2);
                                                  2
      (%o9) [d  x - a d + d, 2 a d d    x - a (d )  x - a  d d  x + 2 a d d
              x                     x x         x        x    x            x

                                                              2          2
                                                      - 2 a  d , a  x + a  - a]
                                                           x      x
      (%i10) deindex;
      (%o10)                     [[1, 1], [2, 2], [4, 4]]

Função: cograd ()

  Calcula o gradiente covariante de uma função escalar permitindo ao usuário escolher o nome do vetor correspondente como o exemplo sob `contragrad` ilustra.

Função: contragrad ()

  Calcula o gradiente contravariante de uma função escalar permitindo ao usuário escolher o nome do vetor correspondente como o exemplo abaixo como ilustra a métrica de Schwarzschild:

      (%i1) load(ctensor);
      (%o1)       /share/tensor/ctensor.mac
      (%i2) derivabbrev:true;
      (%o2)                                true
      (%i3) ct_coordsys(exteriorschwarzschild,all);
      (%o3)                                done
      (%i4) depends(f,r);
      (%o4)                               [f(r)]
      (%i5) cograd(f,g1);
      (%o5)                                done
      (%i6) listarray(g1);
      (%o6)                            [0, f , 0, 0]
                                            r
      (%i7) contragrad(f,g2);
      (%o7)                                done
      (%i8) listarray(g2);
                                     f  r - 2 f  m
                                      r        r
      (%o8)                      [0, -------------, 0, 0]
                                           r

Função: dscalar ()

  Calcula o tensor d'Alembertiano da função escalar assim que as dependências tiverem sido declaradas sobre a função. Po exemplo:

      (%i1) load(ctensor);
      (%o1)       /share/tensor/ctensor.mac
      (%i2) derivabbrev:true;
      (%o2)                                true
      (%i3) ct_coordsys(exteriorschwarzschild,all);
      (%o3)                                done
      (%i4) depends(p,r);
      (%o4)                               [p(r)]
      (%i5) factor(dscalar(p));
                                2
                          p    r  - 2 m p    r + 2 p  r - 2 m p
                           r r           r r        r          r
      (%o5)               --------------------------------------
                                             2
                                            r

Função: checkdiv ()

  Calcula a divergência covariante do tensor de segunda categoria misto (cujo primeiro índice deve ser covariante) imprimindo as correspondentes n componentes do campo do vetor (a divergência) onde n = `dim`. Se o argumento para a função for `g` então a divergência do tensor de Einstein será formada e pode ser zero. Adicionalmente, a divergência (vetor) é dada no array chamado `div`.

Função: cgeodesic (dis)

  Uma função no pacote `ctensor`. `cgeodesic` calcula as equações geodésicas de movimento para uma dada métrica. Elas são armazenadas no array `geod[i]`. Se o argumento dis for `true` então essas equações são mostradas.

Função: bdvac (f)

  Gera as componentes covariantes das equações de campo de vácuo da teoria de gravitação de Brans-Dicke. O campo escalar é especificado através do argumento f, que pode ser um nome de função (com apóstrofo) com dependências funcionais, e.g., `'p(x)`.

  As componentes de segunda categoria do tensor campo covariante são as componentes de segunda categoria representadas pelo array `bd`.

Função: invariant1 ()

  Gera o tensor misto de Euler-Lagrange (equações de campo) para a densidade invariante de R^2. As equações de campo são componentes de um array chamado `inv1`.

Função: invariant2 ()

  *** NOT YET IMPLEMENTED ***

  Gera o tensor misto de Euler-Lagrange (equações de campo) para a densidade invariante de `ric[i,j]*uriem[i,j]`. As equações de campo são as componentes de um array chamado `inv2`.

Função: bimetric ()

  *** NOT YET IMPLEMENTED ***

  Gera as euauações de campo da teoria bimétrica de Rosen. As equações de campo são as componentes de um array chamado `rosen`.

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### 28.2.8 Funções utilitárias

Função: diagmatrixp (M)

  Retorna `true` se M for uma matriz diagonal ou um array (2D).

Função: symmetricp (M)

  Retorna `true` se M for uma matriz simétrica ou um array (2D).

Função: ntermst (f)

  Fornece ao usuário um rápido quadro do "tamanho" do tensor duplamente subscrito (array) f. Imprime uma lista de dois elementos onde o segundo elemento corresponde a N-TERMOS de componentes especificadas através dos primeiros elementos. Nesse caminho, é possível rapidamente encontrar as expressões não nulas e tentar simplificação.

Função: cdisplay (ten)

  Mostra todos os elementos do tensor ten, como representados por um array multidimensional. Tensores de categoria 0 e 1, assim como outros tipos de variáveis, são mostrados com `ldisplay`. Tensores de categoria 2 são mostrados como matrizes bidimensionais, enquanto tensores de alta categoria são mostrados como uma lista de matrizes bidimensionais. Por exemplo, o tensor de Riemann da métrica de Schwarzschild pode ser visto como:

      (%i1) load(ctensor);
      (%o1)       /share/tensor/ctensor.mac
      (%i2) ratfac:true;
      (%o2)                                true
      (%i3) ct_coordsys(exteriorschwarzschild,all);
      (%o3)                                done
      (%i4) riemann(false);
      (%o4)                                done
      (%i5) cdisplay(riem);
                     [ 0               0                    0            0      ]
                     [                                                          ]
                     [                              2                           ]
                     [      3 m (r - 2 m)   m    2 m                            ]
                     [ 0  - ------------- + -- - ----       0            0      ]
                     [            4          3     4                            ]
                     [           r          r     r                             ]
                     [                                                          ]
          riem     = [                                 m (r - 2 m)              ]
              1, 1   [ 0               0               -----------       0      ]
                     [                                      4                   ]
                     [                                     r                    ]
                     [                                                          ]
                     [                                              m (r - 2 m) ]
                     [ 0               0                    0       ----------- ]
                     [                                                   4      ]
                     [                                                  r       ]

                                      [    2 m (r - 2 m)       ]
                                      [ 0  -------------  0  0 ]
                                      [          4             ]
                                      [         r              ]
                           riem     = [                        ]
                               1, 2   [ 0        0        0  0 ]
                                      [                        ]
                                      [ 0        0        0  0 ]
                                      [                        ]
                                      [ 0        0        0  0 ]

                                      [         m (r - 2 m)    ]
                                      [ 0  0  - -----------  0 ]
                                      [              4         ]
                                      [             r          ]
                           riem     = [                        ]
                               1, 3   [ 0  0        0        0 ]
                                      [                        ]
                                      [ 0  0        0        0 ]
                                      [                        ]
                                      [ 0  0        0        0 ]

                                      [            m (r - 2 m) ]
                                      [ 0  0  0  - ----------- ]
                                      [                 4      ]
                                      [                r       ]
                           riem     = [                        ]
                               1, 4   [ 0  0  0        0       ]
                                      [                        ]
                                      [ 0  0  0        0       ]
                                      [                        ]
                                      [ 0  0  0        0       ]

                                     [       0         0  0  0 ]
                                     [                         ]
                                     [       2 m               ]
                                     [ - ------------  0  0  0 ]
                          riem     = [    2                    ]
                              2, 1   [   r  (r - 2 m)          ]
                                     [                         ]
                                     [       0         0  0  0 ]
                                     [                         ]
                                     [       0         0  0  0 ]

                         [     2 m                                         ]
                         [ ------------  0        0               0        ]
                         [  2                                              ]
                         [ r  (r - 2 m)                                    ]
                         [                                                 ]
                         [      0        0        0               0        ]
                         [                                                 ]
              riem     = [                         m                       ]
                  2, 2   [      0        0  - ------------        0        ]
                         [                     2                           ]
                         [                    r  (r - 2 m)                 ]
                         [                                                 ]
                         [                                         m       ]
                         [      0        0        0         - ------------ ]
                         [                                     2           ]
                         [                                    r  (r - 2 m) ]

                                      [ 0  0       0        0 ]
                                      [                       ]
                                      [            m          ]
                                      [ 0  0  ------------  0 ]
                           riem     = [        2              ]
                               2, 3   [       r  (r - 2 m)    ]
                                      [                       ]
                                      [ 0  0       0        0 ]
                                      [                       ]
                                      [ 0  0       0        0 ]

                                      [ 0  0  0       0       ]
                                      [                       ]
                                      [               m       ]
                                      [ 0  0  0  ------------ ]
                           riem     = [           2           ]
                               2, 4   [          r  (r - 2 m) ]
                                      [                       ]
                                      [ 0  0  0       0       ]
                                      [                       ]
                                      [ 0  0  0       0       ]

                                            [ 0  0  0  0 ]
                                            [            ]
                                            [ 0  0  0  0 ]
                                            [            ]
                                 riem     = [ m          ]
                                     3, 1   [ -  0  0  0 ]
                                            [ r          ]
                                            [            ]
                                            [ 0  0  0  0 ]

                                            [ 0  0  0  0 ]
                                            [            ]
                                            [ 0  0  0  0 ]
                                            [            ]
                                 riem     = [    m       ]
                                     3, 2   [ 0  -  0  0 ]
                                            [    r       ]
                                            [            ]
                                            [ 0  0  0  0 ]

                                     [   m                      ]
                                     [ - -   0   0       0      ]
                                     [   r                      ]
                                     [                          ]
                                     [        m                 ]
                                     [  0   - -  0       0      ]
                          riem     = [        r                 ]
                              3, 3   [                          ]
                                     [  0    0   0       0      ]
                                     [                          ]
                                     [              2 m - r     ]
                                     [  0    0   0  ------- + 1 ]
                                     [                 r        ]

                                          [ 0  0  0    0   ]
                                          [                ]
                                          [ 0  0  0    0   ]
                                          [                ]
                               riem     = [            2 m ]
                                   3, 4   [ 0  0  0  - --- ]
                                          [             r  ]
                                          [                ]
                                          [ 0  0  0    0   ]

                                      [       0        0  0  0 ]
                                      [                        ]
                                      [       0        0  0  0 ]
                                      [                        ]
                           riem     = [       0        0  0  0 ]
                               4, 1   [                        ]
                                      [      2                 ]
                                      [ m sin (theta)          ]
                                      [ -------------  0  0  0 ]
                                      [       r                ]

                                      [ 0        0        0  0 ]
                                      [                        ]
                                      [ 0        0        0  0 ]
                                      [                        ]
                           riem     = [ 0        0        0  0 ]
                               4, 2   [                        ]
                                      [         2              ]
                                      [    m sin (theta)       ]
                                      [ 0  -------------  0  0 ]
                                      [          r             ]

                                    [ 0  0          0          0 ]
                                    [                            ]
                                    [ 0  0          0          0 ]
                                    [                            ]
                         riem     = [ 0  0          0          0 ]
                             4, 3   [                            ]
                                    [                2           ]
                                    [         2 m sin (theta)    ]
                                    [ 0  0  - ---------------  0 ]
                                    [                r           ]

                       [        2                                             ]
                       [   m sin (theta)                                      ]
                       [ - -------------         0                0         0 ]
                       [         r                                            ]
                       [                                                      ]
                       [                         2                            ]
                       [                    m sin (theta)                     ]
            riem     = [        0         - -------------         0         0 ]
                4, 4   [                          r                           ]
                       [                                                      ]
                       [                                          2           ]
                       [                                   2 m sin (theta)    ]
                       [        0                0         ---------------  0 ]
                       [                                          r           ]
                       [                                                      ]
                       [        0                0                0         0 ]

      (%o5)                                done

Função: deleten (L, n)

  Retorna uma nova lista consistindo de L com o n'ésimo elemento apagado.

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### 28.2.9 Variáveis usadas por `ctensor`

Variável de opção: dim

  Valor padrão: 4

  Uma opção no pacote `ctensor`. `dim` é a dimensão de multiplicação com o padrão 4. O comando `dim: n` irá escolher a dimensão para qualquer outro valor `n`.

Variável de opção: diagmetric

  Valor padrão: `false`

  Uma opção no pacote `ctensor`. Se `diagmetric` for `true` rotinas especiais calculam todos os objetos geométricos (que possuem o tensor métrico explicitamente) levando em consideração a diagonalidade da métrica. Tempo de execuçào reduzido irá, com certeza, resultar dessa escolha. Nota: essa opção é escolhida automaticamente por `csetup` se uma métrica diagonal for especificada.

Variável de opção: ctrgsimp

  Faz com que simplificações trigonométricas sejam usadas quando tensores forem calculados. Atualmente, `ctrgsimp` afeta somente cálculos envolvendo uma moldura móvel.

Variável de opção: cframe_flag

  Faz com que cálculos sejam executados relativamente a uma moldura móvel em oposição a uma métrica holonômica. A moldura é definida através do array da moldura inversa `fri` e da métrica da moldura `lfg`. Para cálculos usando uma moldura Cartesiana, `lfg` pode ser a matriz unitária de dimensão apropriada; para cálculos em uma moldura de Lorentz, `lfg` pode ter a assinatura apropriada.

Variável de opção: ctorsion_flag

  Faz com que o tensor de contorsão seja incluído no cálculo dos coeficientes de conecção. O tensor de contorsão por si mesmo é calculado através de `contortion` a partir do tensor `tr` fornecido pelo usuário.

Variável de opção: cnonmet_flag

  Faz com que os coeficientes de não metricidade sejam incluídos no cálculo dos coeficientes de conecção. Os coeficientes de não metricidade são calculados a partir do vetor de não metricidade `nm` fornecido pelo usuário através da função `nonmetricity`.

Variável de opção: ctayswitch

  Se escolhida para `true`, faz com que alguns cálculos de `ctensor` sejam realizados usando expansões das séries de Taylor. atualmente, `christof`, `ricci`, `uricci`, `einstein`, e `weyl` levam em conta essa escolha.

Variável de opção: ctayvar

  Variável usada pela expansão de séries de Taylor se `ctayswitch` é escolhida para `true`.

Variável de opção: ctaypov

  Maximo expoente usado em expansões de séries de Taylor quando `ctayswitch` for escolhida para `true`.

Variável de opção: ctaypt

  Ponto em torno do qual expansões de séries de Taylor sao realizadas quando `ctayswitch` for escolhida para `true`.

Variável de sistema: gdet

  O determinante do tensor métrico `lg`. Calculado através de `cmetric` quando `cframe_flag` for escolhido para `false`.

Variável de opção: ratchristof

  Faz com que simplificações racionais sejam aplicadas através de `christof`.

Variável de opção: rateinstein

  Valor padrão: `true`

  Se `true` simplificação racional será executada sobre as componentes não nulas de tensores de Einstein; se `ratfac` for `true` então as componentes irão também ser fatoradas.

Variável de opção: ratriemann

  Valor padrão: `true`

  Um dos comutadores que controlam simplificações dos tensores de Riemann; se `true`, então simplificações racionais irão ser concluídas; se `ratfac` for `true` então cada uma das componentes irá também ser fatorada.

Variável de opção: ratweyl

  Valor padrão: `true`

  Se `true`, esse comutador faz com que a função de `weyl` aplique simplificações racionais aos valores do tensor de Weyl. Se `ratfac` for `true`, então as componentes irão também ser fatoradas.

Variável: lfg

  A moldura métrica covariante. Por padrão, é inicializada para a moldura tetradimensional de Lorentz com assinatura (+,+,+,-). Usada quando `cframe_flag` for `true`.

Variável: ufg

  A métrica da moldura inversa. Calculada de `lfg` quando `cmetric` for chamada enquanto `cframe_flag` for escolhida para `true`.

Variável: riem

  O tensor de categoria (3,1) de Riemann. Calculado quando a função `riemann` é invocada. Para informação sobre ordenação de índices, veja a descrição de `riemann`.

  Se `cframe_flag` for `true`, `riem` é calculado a partir do tensor covariante de Riemann `lriem`.

Variável: lriem

  O tensor covariante de Riemann. Calculado através de `lriemann`.

Variável: uriem

  O tensor contravariante de Riemann. Calculado através de `uriemann`.

Variável: ric

  O tensor misto de Ricci. Calculado através de `ricci`.

Variável: uric

  O tensor contravariante de Ricci. Calculado através de `uricci`.

Variável: lg

  O tensor métrico. Esse tensor deve ser especificado (como uma `dim` através da matriz `dim`) antes que outro cálculo possa ser executado.

Variável: ug

  O inverso do tensor métrico. Calculado através de `cmetric`.

Variável: weyl

  O tensor de Weyl. Calculado através de `weyl`.

Variável: fb

  Coeficientes delimitadores da moldura, como calculado através de `frame_bracket`.

Variável: kinvariant

  O invariante de Kretchmann. Calculado através de `rinvariant`.

Variável: np

  Um tetrad nulo de Newman-Penrose. Calculado através de `nptetrad`.

Variável: npi

  O índice ascendente do tetrad nulo de Newman-Penrose. Calculado através de `nptetrad`. Definido como `ug.np`. O produto `np.transpose(npi)` é constante:

      (%i39) trigsimp(np.transpose(npi));
                                    [  0   - 1  0  0 ]
                                    [                ]
                                    [ - 1   0   0  0 ]
      (%o39)                        [                ]
                                    [  0    0   0  1 ]
                                    [                ]
                                    [  0    0   1  0 ]

Variável: tr

  Tensor de categoria 3 fornecido pelo usuário representando torsão. Usado por `contortion`.

Variável: kt

  O tensor de contorsão, calculado a partir de `tr` através de `contortion`.

Variável: nm

  Vetor de não metrcidade fornecido pelo usuário. Usado por `nonmetricity`.

Variável: nmc

  Os coeficientes de não metricidade, calculados a partir de `nm` por `nonmetricity`.

Variável de sistema: tensorkill

  Variável indicando se o pacote tensor foi inicializado. Escolhida e usada por `csetup`, retornada ao seu valor original através de `init_ctensor`.

Variável de opção: ct_coords

  Valor padrão: `[]`

  Uma opção no pacote `ctensor`. `ct_coords` contém uma lista de coordenadas. Enquanto normalmente definida quando a função `csetup` for chamada, se pode redefinir as coordenadas com a atribuição `ct_coords: [j1, j2, ..., jn]` onde os j's são os novos nomes de coordenadas. Veja também `csetup`.

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### 28.2.10 Nomes reservados

Os seguintes nomes são usados internamente pelo pacote `ctensor` e não devem ser redefinidos:

      Name         Description
      ---------------------------------------
      _lg()        Avalia para lfg se a moldura métrica for usada,
                        para lg de outra forma
      _ug()        Avalia para ufg se a moldura métrica for usada,
                        para ug de outra forma
      cleanup()    Remove ítens da lista deindex
      contract4()  Usado por psi()
      filemet()    Usado por csetup() quando lendo a métrica de um arquivo
      findde1()    Usado por findde()
      findde2()    Usado por findde()
      findde3()    Usado por findde()
      kdelt()      Delta de Kronecker (não generalizado)
      newmet()     Usado por csetup() para escolher uma métrica
                        interativamente
      setflags()   Usado por init_ctensor()
      readvalue()
      resimp()
      sermet()     Usado por csetup() para informar uma métricacom série
                        de Taylor
      txyzsum()
      tmetric()    Moldura métrica, usado por cmetric() quando
                        cframe_flag:true
      triemann()   Tensor de Riemann em base de moldura, usado quando
                        cframe_flag:true
      tricci()     Tensor de Ricci em base de moldura, usada quando
                        cframe_flag:true
      trrc()       Coeficientes de rotação de Ricci, usado por
                        christof()
      yesp()

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### 28.2.11 Modificações

Em Novembro de 2004, o pacote `ctensor` foi extensivamente reescrito. Muitas funções e variáveis foram renomeadas com o objetivo de tornar o pacote com a versão comercial do Macsyma.

      Novo Nome    Nome Antigo     Descrição
      --------------------------------------------------------------------
      ctaylor()    DLGTAYLOR()     Expansão da série de Taylor de uma
      -----------------------------expressão
      lgeod[]      EM              Equações geodésicas
      ein[]        G[]             Tensor misto de Einstein
      ric[]        LR[]            Tensor misto de Ricci
      ricci()      LRICCICOM()     Calcula o tensor misto de Ricci
      ctaypov      MINP            Maximo expoente em expansões de séries de
      -----------------------------Taylor
      cgeodesic()  MOTION          Calcula as equações geodésicas
      ct_coords    OMEGA           Coordenadas métricas
      ctayvar      PARAM           Variável de expansão de séries de
      -----------------------------Taylor
      lriem[]      R[]             Tensor covariante de Riemann
      uriemann()   RAISERIEMANN()  Calcula o tensor contravariante de
      -----------------------------Riemann
      ratriemann   RATRIEMAN       Simplificação racional do tensor de
      -----------------------------Riemann
      uric[]       RICCI[]         Tensor de Ricci contravariante
      uricci()     RICCICOM()      Calcula o tensor de Ricci contravariante
      cmetric()    SETMETRIC()     Escolhe a métrica
      ctaypt       TAYPT           Ponto para expansões de séries de Taylor
      ctayswitch   TAYSWITCH       Escolhe o comutador de séries de Taylor
      csetup()     TSETUP()        Inicia sessão interativa de configuração
      ctransform() TTRANSFORM()    Transformação de coordenadas interativa
      uriem[]      UR[]            Tensor contravariante de Riemann
      weyl[]       W[]             Tensor (3,1) de Weyl

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