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# 39. augmented_lagrangian

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## 39.1 Funciones y variables para augmented_lagrangian

Función: augmented_lagrangian_method (FOM, xx, C, yy)
Función: augmented_lagrangian_method (FOM, xx, C, yy, optional_args)
Función: augmented_lagrangian_method ([FOM, grad], xx, C, yy)
Función: augmented_lagrangian_method ([FOM, grad], xx, C, yy, optional_args)

  Devuelve una aproximación del valor mínimo de la expresión FOM respecto de las variables xx, manteniendo las restricciones C igual a cero. La lista yy contiene las soluciones iniciales para xx. El algoritmo que se utiliza es el método del lagrangiano aumentado (ver referencias [1] y [2]).

  Si grad está presente en la llamada a la función, se interpreta como el gradiente de FOM respecto de xx, representado como una lista de tantas expresiones como variables tenga xx. Si el argumento grad no está, se calculará de forma automática.

  Tanto FOM como cada uno de los elementos de grad, si se da como argumento, deben ser expresiones ordinarias; no admitiéndose ni nombres de funciones ni expresiones lambda.

  El argumento `optional_args` hace referencia a otros argumentos adicionales, los cuales se especifican de la forma `symbol = value`. Los argumentos opcionales reconocidos son:

  `niter`

    Número de iteraciones del algoritmo.

  `lbfgs_tolerance`

    Tolerancia que se pasa a LBFGS.

  `iprint`

    Parámetro IPRINT (lista de dos enteros que controlan la frecuencia de mensajes) que se pasa a LBFGS.

  `%lambda`

    Valor inicial de `%lambda` que será utilizado para calcular el lagrangiano aumentado.

  Esta función minimiza el lagrangiano aumentado haciendo uso del algoritmo LBFGS, que es un método de los llamados quasi-Newton.

  Antes de hacer uso de esta función ejecútense `load("augmented_lagrangian")`.

  Véase también `lbfgs`.

  Referencias:

  [1] http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/OptWeb/continuous/constrained/nonlinearcon/auglag.html

  [2] http://www.cs.ubc.ca/spider/ascher/542/chap10.pdf

  Ejemplos:

      (%i1) load (lbfgs);
      (%o1)     /maxima/share/lbfgs/lbfgs.mac
      (%i2) load (augmented_lagrangian);
      (%o2)
         /maxima/share/contrib/augmented_lagrangian.mac
      (%i3) FOM: x^2 + 2*y^2;
                                     2    2
      (%o3)                       2 y  + x
      (%i4) xx: [x, y];
      (%o4)                        [x, y]
      (%i5) C: [x + y - 1];
      (%o5)                      [y + x - 1]
      (%i6) yy: [1, 1];
      (%o6)                        [1, 1]
      (%i7) augmented_lagrangian_method(FOM, xx, C, yy, iprint=[-1,0]);
      (%o7) [[x = 0.66665984108002, y = 0.33334027245545],
                                       %lambda = [- 1.333337940892525]]

  Mismo ejemplo que en el caso anterior, pero ahora el gradiente se suministra como argumento.

      (%i1) load (lbfgs)$
      (%i2) load (augmented_lagrangian)$
      (%i3) FOM: x^2 + 2*y^2;
                                     2    2
      (%o3)                       2 y  + x
      (%i4) FOM: x^2 + 2*y^2;
                                     2    2
      (%o4)                       2 y  + x
      (%i5) xx: [x, y];
      (%o5)                        [x, y]
      (%i6) grad : [2*x, 4*y];
      (%o6)                      [2 x, 4 y]
      (%i7) C: [x + y - 1];
      (%o7)                      [y + x - 1]
      (%i8) yy: [1, 1];
      (%o8)                        [1, 1]
      (%i9) augmented_lagrangian_method ([FOM, grad], xx, C, yy,
                                         iprint = [-1, 0]);
      (%o9) [[x = 0.666659841080025, y = .3333402724554462],
                                       %lambda = [- 1.333337940892543]]

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