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# 14. Logarítmos

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## 14.1 Funções e Variáveis Definidas para Logarítmos

Variável de opção: %e_to_numlog

  Valor padrão: `false`

  Quando `true`, sendo `r` algum número racional, e `x` alguma expressão, `%e^(r*log(x))` será simplificado em `x^r` . Note-se que o comando `radcan` também faz essa transformação, e transformações mais complicadas desse tipo também. O comando `logcontract` "contrai" expressões contendo `log`.

Função: li [s] (z)

  Representa a função polilogarítmo de ordem s e argumento z, definida por meio de séries infinitas

                                       inf
                                       ====   k
                                       \     z
                              Li (z) =  >    --
                                s      /      s
                                       ====  k
                                       k = 1

  `li [1]` é `- log (1 - z)`. `li [2]` e `li [3]` são as funções dilogarítmo e trilogarítmo, respectivamente.

  Quando a ordem for 1, o polilogarítmo simplifica para `- log (1 - z)`, o qual por sua vez simplifica para um valor numérico se z for um número em ponto flutuante real ou complexo ou o sinalizador de avaliação `numer` estiver presente.

  Quando a ordem for 2 ou 3, o polilogarítmo simplifica para um valor numérico se z for um número real em ponto flutuante ou o sinalizador de avaliação `numer` estiver presente.

  Exemplos:

      (%i1) assume (x > 0);
      (%o1)                        [x > 0]
      (%i2) integrate ((log (1 - t)) / t, t, 0, x);
      (%o2)                       - li (x)
                                      2
      (%i3) li [2] (7);
      (%o3)                        li (7)
                                     2
      (%i4) li [2] (7), numer;
      (%o4)        1.24827317833392 - 6.113257021832577 %i
      (%i5) li [3] (7);
      (%o5)                        li (7)
                                     3
      (%i6) li [2] (7), numer;
      (%o6)        1.24827317833392 - 6.113257021832577 %i
      (%i7) L : makelist (i / 4.0, i, 0, 8);
      (%o7)   [0.0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0, 1.25, 1.5, 1.75, 2.0]
      (%i8) map (lambda ([x], li [2] (x)), L);
      (%o8) [0, .2676526384986274, .5822405249432515,
      .9784693966661848, 1.64493407, 2.190177004178597
       - .7010261407036192 %i, 2.374395264042415
       - 1.273806203464065 %i, 2.448686757245154
       - 1.758084846201883 %i, 2.467401098097648
       - 2.177586087815347 %i]
      (%i9) map (lambda ([x], li [3] (x)), L);
      (%o9) [0, .2584613953442624, 0.537213192678042,
      .8444258046482203, 1.2020569, 1.642866878950322
       - .07821473130035025 %i, 2.060877505514697
       - .2582419849982037 %i, 2.433418896388322
       - .4919260182322965 %i, 2.762071904015935
       - .7546938285978846 %i]

Função: log (x)

  Representa o logarítmo natural (base e) de x.

  Maxima não possui uma função interna para logarítmo de base 10 ou de outras bases. `log10(x) := log(x) / log(10)` é uma definição útil.

  Simplificação e avaliação de logarítmos são governadas por muitos sinalizadores globais:

  `logexpand` - faz com que `log(a^b)` torne-se `b*log(a)`. Se `logexpand` for escolhida para `all`, `log(a*b)` irá também simplificar para `log(a)+log(b)`. Se `logexpand` for escolhida para `super`, então `log(a/b)` irá também simplificar para `log(a)-log(b)` para números racionais `a/b`, `a#1`. (`log(1/b)`, para `b` inteiro, sempre simplifica). Se `logexpand` for escolhida para `false`, todas essas simplificações irão ser desabilitadas.

  `logsimp` - se `false` então nenhuma simplificação de `%e` para um expoente contendo `log`'s é concluída.

  `lognumer` - se `true` então argumentos negativos em ponto flutuante para `log` irá sempre ser convertido para seu valor absoluto antes que `log` seja tomado. Se `numer` for também `true`, então argumentos negativos inteiros para `log` irão também ser convertidos para seu valor absoluto.

  `lognegint` - se `true` implementa a regra `log(-n)` -> `log(n)+%i*%pi` para `n` um inteiro positivo.

  `%e_to_numlog` - quando `true`, `r` sendo algum número racional, e `x` alguma expressão, `%e^(r*log(x))` será simplificado em `x^r` . Note-se que o comando `radcan` também faz essa transformação, e transformações mais complicadas desse tipo também. O comando `logcontract` "contrai" expressões contendo `log`.

Variável de opção: logabs

  Valor padrão: `false`

  Quando fazendo integração indefinida onde logs são gerados, e.g. `integrate(1/x,x)`, a resposta é dada em termos de `log(abs(...))` se `logabs` for `true`, mas em termos de `log(...)` se `logabs` for `false`. Para integração definida, a escolha `logabs:true` é usada, porque aqui "avaliação" de integral indefinida nos extremos é muitas vezes necessária.

Variável de opção: logarc
Função: logarc (expr)

  Quando a variável global `logarc` for `true`, funções circulares inversas e funções hiperbólicas serão convertidas em funções logarítimicas equivalentes. O valor padrão de `logarc` é `false`.

  A função `logarc(expr)` realiza aquela substituíção para uma expressão expr sem modificar o valor da variável global `logarc`.

Variável de opção: logconcoeffp

  Valor padrão: `false`

  Controla quais coeficientes são contraídos quando usando `logcontract`. Pode ser escolhida para o nome de uma função predicado de um argumento. E.g. se você gosta de gerar raízes quadradas, você pode fazer `logconcoeffp:'logconfun$ logconfun(m):=featurep(m,integer) ou ratnump(m)$` . Então `logcontract(1/2*log(x));` irá fornecer `log(sqrt(x))`.

Função: logcontract (expr)

  Recursivamente examina a expressão expr, transformando subexpressões da forma `a1*log(b1) + a2*log(b2) + c` em `log(ratsimp(b1^a1 * b2^a2)) + c`

      (%i1) 2*(a*log(x) + 2*a*log(y))$
      (%i2) logcontract(%);
                                       2  4
      (%o2)                     a log(x  y )

  Se você faz `declare(n,integer);` então `logcontract(2*a*n*log(x));` fornece `a*log(x^(2*n))`. Os coeficientes que "contraem" dessa maneira são aqueles tais que 2 e `n` que satisfazem `featurep(coeff,integer)`. O usuário pode controlar quais coeficientes são contraídos escolhendo a opção `logconcoeffp` para o nome de uma função predicado de um argumento. E.g. se você gosta de gerara raízes quadradas, você pode fazer `logconcoeffp:'logconfun$ logconfun(m):=featurep(m,integer) ou ratnump(m)$` . Então `logcontract(1/2*log(x));` irá fornecer `log(sqrt(x))`.

Variável de opção: logexpand

  Valor padrão: `true`

  Faz com que `log(a^b)` torne-se `b*log(a)`. Se for escolhida para `all`, `log(a*b)` irá também simplificar para `log(a)+log(b)`. Se for escolhida para `super`, então `log(a/b)` irá também simplificar para `log(a)-log(b)` para números racionais `a/b`, `a#1`. (`log(1/b)`, para `b` inteiro, sempre simplifica). Se for escolhida para `false`, todas essas simplificações irão ser desabilitadas.

Variável de opção: lognegint

  Valor padrão: `false`

  Se `true` implementa a regra `log(-n)` -> `log(n)+%i*%pi` para `n` um inteiro positivo.

Variável de opção: lognumer

  Valor padrão: `false`

  Se `true` então argumentos negativos em ponto flutuante para `log` irão sempre ser convertidos para seus valores absolutos antes que o `log` seja tomado. Se `numer` for também `true`, então argumentos inteiros negativos para `log` irão também ser convertidos para seus valores absolutos.

Variável de opção: logsimp

  Valor padrão: `true`

  Se `false` então nenhuma simplificação de `%e` para um expoente contendo `log`'s é concluída.

Função: plog (x)

  Representa o principal ramo logarítmos naturais avaliados para complexos com `-%pi` < `carg(x)` <= `+%pi` .

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