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# 57. lbfgs

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## 57.1 Introdução a lbfgs

`lbfgs` é uma implementação do algorítmo[1] L-BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) para resolver problemas de minimização não limitada através de um algorítmo de memória limitada quasi-Newton (BFGS). Esse algorítmo é chamado de método de memória limitada porque uma aproximação de baixo ranque da inverso da matriz Hessiana é armazenado em lugar da inversa da matriz Hessiana completa. O programa foi escrito origináriamente em Fortran [2] por Jorge Nocedal, incorporando algumas funções originalmente escritas por Jorge J. Moré e David J. Thuente, e traduzidas para Lisp automaticamente através do programa `f2cl`. O pacote do Maxima `lbfgs` compreende o código traduzido e adicionalmente uma interface de função que gerencia alguns detallhes.

Referências:

[1] D. Liu and J. Nocedal. "On the limited memory BFGS method for large scale optimization". Mathematical Programming B 45:503-528 (1989)

[2] http://netlib.org/opt/lbfgs_um.shar

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## 57.2 Funções e Variáveis Definidas para lbfgs

Função: lbfgs (FOM, X, X0, epsilon, iprint)

  Encontra uma solução aproximada da minimização não limitada de número de mérito FOM sobre a lista de variáveis X, começando a partir da estimativa inicial X0, tal que norm grad FOM < epsilon max(1, norm X).

  O algorítmo aplicado é um algorítmo de memória limitada[1] quasi-Newton (BFGS). Esse algorítmo é chamado de método de memória limitada porque uma aproximação de baixo ranque da inverso da matriz Hessiana é armazenado em lugar da inversa da matriz Hessiana completa. Cada iteração do algorítmo é uma busca de linha, isto é, uma busca ao longo de um raio em torno da variáveis X, com a direção de busca calculada a partir da Hessian inversa aproximada. O FOM é sempre decrementado por meio de uma busca de linha realizada com sucesso. Usualmente (mas não sempre) a norma do gradiente de FOM também é decrementada.

  iprint controla as messaens de progresso mostradas através de `lbfgs`.

  `iprint[1]`

    `iprint[1]` controla a freqüência das mensagens de progresso.

    `iprint[1] < 0`

      Nenhuma mensagem de progresso.

    `iprint[1] = 0`

      Messagens na primeira iteração e na última iteração.

    `iprint[1] > 0`

      Mostra uma mensagem a cada `iprint[1]` iterações.

  `iprint[2]`

    `iprint[2]` controla a quantidade de informações fornecidas pelas mensagens de progresso (verbosidade).

    `iprint[2] = 0`

      Mostra na tela o contador de iterações, o número de avaliações de FOM, o valor de FOM, a norma do gradiente de FOM, e o comprimento do salto.

    `iprint[2] = 1`

      O mesmo que `iprint[2] = 0`, adicionando X0 e o gradiente de FOM avaliado em X0.

    `iprint[2] = 2`

      O mesmo que `iprint[2] = 1`, adicionando valores de X a cada iteração.

    `iprint[2] = 3`

      O mesmo que `iprint[2] = 2`, adicionando o gradiente de FOM a cada iteração.

  As colunas mostradas por `lbfgs` são as seguintes.

  `I`

    número de iterações. Esse número é incrementado a cada busca de linha.

  `NFN`

    Número de avaliações do número de mérito.

  `FUNC`

    Valor do nero de mérito ao final da busca de linha mais recente.

  `GNORM`

    Norma do gradiente do número de mérito ao final da mais recente busca de linha.

  `STEPLENGTH`

    Um parâmetro interno do algorítmo de busca.

  Informação adicional com relação a detalhes do algorítmo podem ser encontradas nos comentários do código Fortran original em [2].

  Veja também `lbfgs_nfeval_max` e `lbfgs_ncorrections`.

  Referências:

  [1] D. Liu e J. Nocedal. "On the limited memory BFGS method for large scale optimization". Mathematical Programming B 45:503-528 (1989)

  [2] http://netlib.org/opt/lbfgs_um.shar

  Exemplo:

  O mesmo FOM como calculada por FGCOMPUTE no programa sdrive.f no pacote LBFGS de Netlib. Note que as variáveis em questão são variáveis com subscritos. O FOM tem um mínimo exato igual a zero em u[k] = 1 for k = 1, ..., 8.

      (%i1) load (lbfgs);
      (%o1)   /usr/share/maxima/5.10.0cvs/share/lbfgs/lbfgs.mac
      (%i2) t1[j] := 1 - u[j];
      (%o2)                     t1  := 1 - u
                                  j         j
      (%i3) t2[j] := 10*(u[j + 1] - u[j]^2);
                                                2
      (%o3)                t2  := 10 (u      - u )
                             j         j + 1    j
      (%i4) n : 8;
      (%o4)                           8
      (%i5) FOM : sum (t1[2*j - 1]^2 + t2[2*j - 1]^2, j, 1, n/2);
                       2 2           2              2 2           2
      (%o5) 100 (u  - u )  + (1 - u )  + 100 (u  - u )  + (1 - u )
                  8    7           7           6    5           5
                           2 2           2              2 2           2
              + 100 (u  - u )  + (1 - u )  + 100 (u  - u )  + (1 - u )
                      4    3           3           2    1           1
      (%i6) lbfgs (FOM, '[u[1], u[2], u[3], u[4], u[5], u[6], u[7], u[8]],
             [-1.2, 1, -1.2, 1, -1.2, 1, -1.2, 1], 1e-3, [1, 0]);
      *************************************************
        N=    8   NUMBER OF CORRECTIONS=25
             INITIAL VALUES
       F=  9.680000000000000D+01   GNORM=  4.657353755084532D+02
      *************************************************

         I  NFN     FUNC                    GNORM                   STEPLENGTH

         1    3     1.651479526340304D+01   4.324359291335977D+00   7.926153934390631D-04
         2    4     1.650209316638371D+01   3.575788161060007D+00   1.000000000000000D+00
         3    5     1.645461701312851D+01   6.230869903601577D+00   1.000000000000000D+00
         4    6     1.636867301275588D+01   1.177589920974980D+01   1.000000000000000D+00
         5    7     1.612153014409201D+01   2.292797147151288D+01   1.000000000000000D+00
         6    8     1.569118407390628D+01   3.687447158775571D+01   1.000000000000000D+00
         7    9     1.510361958398942D+01   4.501931728123680D+01   1.000000000000000D+00
         8   10     1.391077875774294D+01   4.526061463810632D+01   1.000000000000000D+00
         9   11     1.165625686278198D+01   2.748348965356917D+01   1.000000000000000D+00
        10   12     9.859422687859137D+00   2.111494974231644D+01   1.000000000000000D+00
        11   13     7.815442521732281D+00   6.110762325766556D+00   1.000000000000000D+00
        12   15     7.346380905773160D+00   2.165281166714631D+01   1.285316401779533D-01
        13   16     6.330460634066370D+00   1.401220851762050D+01   1.000000000000000D+00
        14   17     5.238763939851439D+00   1.702473787613255D+01   1.000000000000000D+00
        15   18     3.754016790406701D+00   7.981845727704576D+00   1.000000000000000D+00
        16   20     3.001238402309352D+00   3.925482944716691D+00   2.333129631296807D-01
        17   22     2.794390709718290D+00   8.243329982546473D+00   2.503577283782332D-01
        18   23     2.563783562918759D+00   1.035413426521790D+01   1.000000000000000D+00
        19   24     2.019429976377856D+00   1.065187312346769D+01   1.000000000000000D+00
        20   25     1.428003167670903D+00   2.475962450826961D+00   1.000000000000000D+00
        21   27     1.197874264861340D+00   8.441707983493810D+00   4.303451060808756D-01
        22   28     9.023848941942773D-01   1.113189216635162D+01   1.000000000000000D+00
        23   29     5.508226405863770D-01   2.380830600326308D+00   1.000000000000000D+00
        24   31     3.902893258815567D-01   5.625595816584421D+00   4.834988416524465D-01
        25   32     3.207542206990315D-01   1.149444645416472D+01   1.000000000000000D+00
        26   33     1.874468266362791D-01   3.632482152880997D+00   1.000000000000000D+00
        27   34     9.575763380706598D-02   4.816497446154354D+00   1.000000000000000D+00
        28   35     4.085145107543406D-02   2.087009350166495D+00   1.000000000000000D+00
        29   36     1.931106001379290D-02   3.886818608498966D+00   1.000000000000000D+00
        30   37     6.894000721499670D-03   3.198505796342214D+00   1.000000000000000D+00
        31   38     1.443296033051864D-03   1.590265471025043D+00   1.000000000000000D+00
        32   39     1.571766603154336D-04   3.098257063980634D-01   1.000000000000000D+00
        33   40     1.288011776581970D-05   1.207784183577257D-02   1.000000000000000D+00
        34   41     1.806140173752971D-06   4.587890233385193D-02   1.000000000000000D+00
        35   42     1.769004645459358D-07   1.790537375052208D-02   1.000000000000000D+00
        36   43     3.312164100763217D-10   6.782068426119681D-04   1.000000000000000D+00

       THE MINIMIZATION TERMINATED WITHOUT DETECTING ERRORS.
       IFLAG = 0
      (%o6) [u  = 1.000005339815974, u  = 1.000009942839805,
              1                       2
      u  = 1.000005339815974, u  = 1.000009942839805,
       3                       4
      u  = 1.000005339815974, u  = 1.000009942839805,
       5                       6
      u  = 1.000005339815974, u  = 1.000009942839805]
       7                       8

Variãvel: lbfgs_nfeval_max

  Valor padrão: 100

  `lbfgs_nfeval_max` é o número máximo de avaliações do número de mérito (FOM - "figure of merit" em inglês) em `lbfgs`. Quando `lbfgs_nfeval_max` for encontrada, `lbfgs` retorna o resultado da última busca de linha realizada co sucesso.

Variãvel: lbfgs_ncorrections

  Valor padrão: 25

  `lbfgs_ncorrections` é o número de correções aplicadas à matriz Hessiana inversa aproximada que é mantida por `lbfgs`.

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