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# 48. drawdf

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## 48.1 Introducción a drawdf

La función `drawdf` dibuja el campo de direcciones de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden (EDO) o de un sistema de dos ecuaciones autónomas de primer orden.

Puesto que `drawdf` es un paquete adicional, es necesario cargarlo en memoria ejecutando previamente la instrucción `load(drawdf)`. `drawdf` utiliza el paquete `draw`, que necesita como mínimo la versión 4.2 de Gnuplot.

Para dibujar el campo de direcciones de una EDO, ésta debe escribirse de la forma

           dy
           -- = F(x,y)
           dx

y ser la función F la que se pase a `drawdf` como argumento. Si las variables independiente y dependiente no son x e y, como en la ecuación anterior, entonces deben nombrarse de forma explícita en una lista que se pasará a `drawdf` (ver ejemplos más abajo).

Para dibujar el campo de direcciones de un conjunto de dos EDOs autónomas, deben escribirse de la forma

           dx             dy
           -- = G(x,y)    -- = F(x,y)
           dt             dt

y será una lista con las dos funciones G y F la que se pase a `drawdf` como argumento. El orden de las funciones es importante; la primera será la derivada de la abscisa respecto del tiempo y la segunda la derivada de la ordenada respecto del tiempo. Si las variables no son las x e y habituales, el segundo argumento que se pase a la función `drawdf` será una lista con los nombres de ambas variables, primero la correspondiente a las abscisas, seguida de la asociada a las ordenadas.

Si sólo se trata de una EDO, `drawdf` admitirá por defecto que `x=t` y `G(x,y)=1`, transformanado la ecuación no autónoma en un sistema de dos ecuaciones autónomas.

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## 48.2 Funciones y variables para drawdf

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### 48.2.1 Funciones

Función: drawdf (dydx, ...options and objects...)
Función: drawdf (dvdu, `[`u,v`]`, ...opciones y objetos...)
Función: drawdf (dvdu, `[`u,umin,umax`]`, `[`v,vmin,vmax`]`, ...opciones y objetos...)
Función: drawdf (`[`dxdt,dydt`]`, ...opciones y objetos...)
Función: drawdf (`[`dudt,dvdt`]`, `[`u,v`]`, ...opciones y objetos...)
Función: drawdf (`[`dudt,dvdt`]`, `[`u,umin,umax`]`, `[`v,vmin,vmax`]`, ...opciones y objetos...)

  La función `drawdf` dibuja un campo de direcciones 2D, incluyendo opcionalmente curvas asociadas a soluciones particulares, así como otros objeto gráficos del paquete `draw`.

  El primer argumento especifica la(s) derivada(s), el cual debe estar formado por una expresión o una lista de dos expresiones. dydx, dxdt y dydt son expresiones que dependen de x y y. dvdu, dudt y dvdt son expresiones que dependen de u y v.

  Si las variables independiente y dependiente no son x e y, sus nombres deben especificarse a continuación de las derivadas, bien como una lista de dos nombres, `[`u,v`]`, o como dos listas de la forma `[`u,umin,umax`]` y `[`v,vmin,vmax`]`.

  El resto de argumentos son opciones gráficas, objetos gráficos, o listas conteniendo elementos de ambos tipos. El conjunto de opciones y objetos gráficos soportados por `drawdf` incluye los soportados por `draw2d` y `gr2d` del paquete `draw`.

  Los argumentos se iterpretan secuencialmente: las opciones gráficas afectan a todos los objetos gráficos que le siguen. Además, los objetos gráficos se dibujan en el orden en el que se especifican, pudiendo tapar otros gráficos dibujados con anterioridad. Algunas opciones gráficas afectan al aspecto general de la escena.

  Los nuevos objetos gráficos que se definen en `drawdf` son: `solns_at`, `points_at`, `saddles_at`, `soln_at`, `point_at` y `saddle_at`.

  Las nuevas opciones gráficas que se definen en `drawdf` son: `field_degree`, `soln_arrows`, `field_arrows`, `field_grid`, `field_color`, `show_field`, `tstep`, `nsteps`, `duration`, `direction`, `field_tstep`, `field_nsteps` y `field_duration`.

  Objetos gráficos que se heredan del paquete `draw` incluyen: `explicit`, `implicit`, `parametric`, `polygon`, `points`, `vector`, `label` y cualesquiera otros soportados por `draw2d` y `gr2d`.

  Opciones gráficas que se heredan del paquete `draw` incluyen: `points_joined`, `color`, `point_type`, `point_size`, `line_width`, `line_type`, `key`, `title`, `xlabel`, `ylabel`, `user_preamble`, `terminal`, `dimensions`, `file_name` y cualesquiera otros soportados por `draw2d` y `gr2d`.

  Véase también `draw2d`.

  Los usuarios de wxMaxima y Imaxima pueden hacer uso también `wxdrawdf`, que es idéntica a `drawdf`, pero que inserta el gráfico en el propio documento utilizando la función `wxdraw`.

  Para hacer uso de esta función, ejecútese primero `load(drawdf)`.

  Ejemplos:

      (%i1) load(drawdf)$
      (%i2) drawdf(exp(-x)+y)$        /* default vars: x,y */
      (%i3) drawdf(exp(-t)+y, [t,y])$ /* default range: [-10,10] */
      (%i4) drawdf([y,-9*sin(x)-y/5], [x,1,5], [y,-2,2])$

  A efectos de compatibilidad, `drawdf` acepta la mayor parte de parámetros soportados por `plotdf`.

      (%i5) drawdf(2*cos(t)-1+y, [t,y], [t,-5,10], [y,-4,9],
                   [trajectory_at,0,0])$

  `soln_at` y `solns_at` dibujan soluciones particulares que pasen por los puntos especificados, utilizando el integrador numérico de Runge Kutta de cuarto orden.

      (%i6) drawdf(2*cos(t)-1+y, [t,-5,10], [y,-4,9],
                   solns_at([0,0.1],[0,-0.1]),
                   color=blue, soln_at(0,0))$

  `field_degree=2` hace que el campo se componga de splines cuadráticos basados en las derivadas de primer y segundo orden en cada punto de la malla. `field_grid=[`COLS,ROWS`]` especifica el número de columnas y filas a utilizar en la malla.

      (%i7) drawdf(2*cos(t)-1+y, [t,-5,10], [y,-4,9],
                   field_degree=2, field_grid=[20,15],
                   solns_at([0,0.1],[0,-0.1]),
                   color=blue, soln_at(0,0))$

  `soln_arrows=true` añade flechas a las soluciones particulares y, por defecto, las borra. También cambia los colores por defecto para destacar las curvas de las soluciones particulares.

      (%i8) drawdf(2*cos(t)-1+y, [t,-5,10], [y,-4,9],
                   soln_arrows=true,
                   solns_at([0,0.1],[0,-0.1],[0,0]))$

  `duration=40` especifica el intervalo temporal de la integración numérica, cuyo valor por defecto es 10. La integración se detendrá automáticamente si la solución se aparta mucho de la región a dibujar, o si la derivada se vuelve compleja o infinita. Aquí también hacemos `field_degree=2` para dibujar splines cuadráticos. Las ecuaciones de este ejemplo modelizan un sistema depredador-presa.

      (%i9) drawdf([x*(1-x-y), y*(3/4-y-x/2)], [x,0,1.1], [y,0,1],
                   field_degree=2, duration=40,
                   soln_arrows=true, point_at(1/2,1/2),
                   solns_at([0.1,0.2], [0.2,0.1], [1,0.8], [0.8,1],
                            [0.1,0.1], [0.6,0.05], [0.05,0.4],
                            [1,0.01], [0.01,0.75]))$

  `field_degree='solns` hace que el campo se componga de muchas pequeñas soluciones calculadas a partir del Runge Kutta de cuarto orden.

      (%i10) drawdf([x*(1-x-y), y*(3/4-y-x/2)], [x,0,1.1], [y,0,1],
                    field_degree='solns, duration=40,
                    soln_arrows=true, point_at(1/2,1/2),
                    solns_at([0.1,0.2], [0.2,0.1], [1,0.8],
                             [0.8,1], [0.1,0.1], [0.6,0.05],
                             [0.05,0.4], [1,0.01], [0.01,0.75]))$

  `saddles_at` trata de linearizar automáticamente la ecuación en cada punto de silla y dibujar la solución numérica correspondiente a cada vector propio, incluyendo las separatrices. `tstep=0.05` establece el salto temporal máximo para el integrador numérico, cuyo valor por defecto es 0.1. Las siguientes ecuaciones modelizan un péndulo amortiguado.

      (%i11) drawdf([y,-9*sin(x)-y/5], tstep=0.05,
                    soln_arrows=true, point_size=0.5,
                    points_at([0,0], [2*%pi,0], [-2*%pi,0]),
                    field_degree='solns,
                    saddles_at([%pi,0], [-%pi,0]))$

  `show_field=false` elimina el campo completamente.

      (%i12) drawdf([y,-9*sin(x)-y/5], tstep=0.05,
                    show_field=false, soln_arrows=true,
                    point_size=0.5,
                    points_at([0,0], [2*%pi,0], [-2*%pi,0]),
                    saddles_at([3*%pi,0], [-3*%pi,0],
                               [%pi,0], [-%pi,0]))$

  `drawdf` pasa todos los parámetros que no reconoce a `draw2d` o `gr2d`, permitiendo combinar la potencia del paquete `draw` con `drawdf`.

      (%i13) drawdf(x^2+y^2, [x,-2,2], [y,-2,2], field_color=gray,
                    key="soln 1", color=black, soln_at(0,0),
                    key="soln 2", color=red, soln_at(0,1),
                    key="isocline", color=green, line_width=2,
                    nticks=100, parametric(cos(t),sin(t),t,0,2*%pi))$

  `drawdf` acepta listas anidadas de opciones y objetos gráficos, permitiendo el uso de `makelist` y otras funciones de forma más flexible para generar gráficos.

      (%i14) colors : ['red,'blue,'purple,'orange,'green]$
      (%i15) drawdf([x-x*y/2, (x*y - 3*y)/4],
                    [x,2.5,3.5], [y,1.5,2.5],
                    field_color = gray,
                    makelist([ key   = concat("soln",k),
                               color = colors[k],
                               soln_at(3, 2 + k/20) ],
                             k,1,5))$

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